Relaciones de Equivalencia

Definición:

Sea ${\displaystyle K}$ un conjunto dado no vacío y ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ una relación binaria definida sobre ${\displaystyle K}$. Se dice que ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ es una relación de equivalencia si cumple las siguientes propiedades:

• Reflexividad: Todo elemento de ${\displaystyle K}$ está relacionado consigo mismo. Es decir,

${\displaystyle \forall x\in K\;:\quad x{\mathcal {R}}x}$.

• Simetría: Si un elemento de ${\displaystyle K}$ está relacionado con otro, entonces ese otro elemento también se relaciona con el primero. Es decir,

${\displaystyle \forall x,y\in K\;:\quad x{\mathcal {R}}y\;\Rightarrow \;y{\mathcal {R}}x}$.

• Transitividad: Si un elemento de ${\displaystyle K}$ está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir,

${\displaystyle \forall x,y,z\in K\;:\quad x{\mathcal {R}}y\land y{\mathcal {R}}z\quad \Rightarrow \quad x{\mathcal {R}}z}$.

Notación:

Una relación de equivalencia entre dos conjuntos se denota con el símbolo ~. Por ejemplo, si un conjunto A y un conjunto B son equivalentes se representa como A ~ B.

Clase de equivalencia o Relación de equivalencia:

En lógica de clases y análisis matemático, la relación de equivalencia ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ define subconjuntos disjuntos en ${\displaystyle K}$ llamados clases de equivalencia:

Dado un elemento ${\displaystyle a\in K}$, el conjunto dado por todos los elementos relacionados con ${\displaystyle a}$ definen la clase:

${\displaystyle [a]=\{b\in K\,|\,a{\mathcal {R}}b\}}$

se le llama la clase de equivalencia asociada al elemento ${\displaystyle a}$.

Al elemento ${\displaystyle a}$ se le llama representante de la clase.

Se llama orden al número de clases que genera una relación de equivalencia; si éste es finito, se dice que la relación es de orden finito.

El concepto de clase de equivalencia tiene importancia en la ciencia, dado un conjunto de objetos o entidades abstractas (potencialmente infinitas), pueden establecerse relaciones de equivalencia sobre la base de algún criterio, las clases resultantes son los "tipos" en los que se puede clasificar toda la gama de objetos.